{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# 1 · Wärmeleitung als Modellproblem\n",
    "\n",
    "Wir betrachten die eindimensionale Wärmeleitung\n",
    "\n",
    "$$u_t = \\kappa u_{xx}, \\qquad 0<x<1,$$\n",
    "\n",
    "mit $u(0,t)=u(1,t)=0$. Als Anfangswert verwenden wir\n",
    "\n",
    "$$u(x,0)=\\sin(\\pi x)+\\tfrac14\\sin(3\\pi x).$$\n",
    "\n",
    "Beide Sinusmoden erfüllen die Randbedingungen. Deshalb ist die exakte Lösung bekannt und eignet sich hervorragend zur Kontrolle eines numerischen Verfahrens."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "import sys\n",
    "from pathlib import Path\n",
    "\n",
    "import matplotlib.pyplot as plt\n",
    "import numpy as np\n",
    "\n",
    "project = Path.cwd()\n",
    "if not (project / 'galerkin_heat.py').exists() and (project.parent / 'galerkin_heat.py').exists():\n",
    "    project = project.parent\n",
    "if not (project / 'galerkin_heat.py').exists():\n",
    "    from urllib.request import urlretrieve\n",
    "    source = 'https://raw.githubusercontent.com/karkessler/dhbw-mathe3/main/galerkin/galerkin_heat.py'\n",
    "    urlretrieve(source, project / 'galerkin_heat.py')\n",
    "sys.path.insert(0, str(project))\n",
    "\n",
    "from galerkin_heat import exact_solution\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def plot_exact(time=0.05, diffusivity=1.0):\n",
    "    x = np.linspace(0.0, 1.0, 401)\n",
    "    plt.figure(figsize=(8, 4))\n",
    "    plt.plot(x, exact_solution(x, time, diffusivity), lw=2)\n",
    "    plt.xlabel('Ort x')\n",
    "    plt.ylabel('Temperatur u(x,t)')\n",
    "    plt.title(f'Exakte Lösung bei t={time:.3f}, κ={diffusivity:.2f}')\n",
    "    plt.grid(alpha=0.3)\n",
    "    plt.ylim(-0.3, 1.3)\n",
    "    plt.show()\n",
    "\n",
    "plot_exact()\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Interaktiv experimentieren\n",
    "\n",
    "Verändere Zeit und Diffusivität. Eine größere Diffusivität lässt hohe Frequenzen besonders schnell abklingen."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "try:\n",
    "    from ipywidgets import FloatSlider, interact\n",
    "    interact(\n",
    "        plot_exact,\n",
    "        time=FloatSlider(value=0.05, min=0.0, max=0.3, step=0.01),\n",
    "        diffusivity=FloatSlider(value=1.0, min=0.1, max=2.0, step=0.1),\n",
    "    )\n",
    "except ImportError:\n",
    "    print('Für Regler bitte ipywidgets installieren. Die statische Grafik funktioniert bereits.')\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Beobachtung\n",
    "\n",
    "Der Anteil $\\sin(3\\pi x)$ verschwindet wesentlich schneller als die Grundmode. Die Wärmeleitung glättet daher das Temperaturprofil. Im nächsten Notebook ersetzen wir die exakte Lösung durch eine Galerkin-Näherung."
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {"display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3"},
  "language_info": {"name": "python", "version": "3"}
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}