Modell verstehen
Wärmeleitung, Randbedingungen, Eigenmoden und eine exakte Vergleichslösung.
Numerische Mathematik · interaktiv
Wärmeleitung mit dem Galerkin-Verfahren
Von der Differentialgleichung über die räumliche Galerkin-Diskretisierung bis zur Konvergenzanalyse – mit drei ausführbaren Python-Notebooks.
Partielle Differentialgleichungen
Finite Elemente
Crank–Nicolson
Python
Fehleranalyse
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Wie schnell glättet die Wärmeleitung?
Die Kurve zeigt die exakte Lösung für zwei Sinusmoden. Verändere Zeit und Diffusivität; hohe Frequenzen klingen besonders schnell ab.
u(x,t) = exp(−κπ²t) sin(πx) + ¼ exp(−9κπ²t) sin(3πx)
Die Idee dahinter
Galerkin-Verfahren in wenigen Sätzen
Die Wärmeleitungsgleichung beschreibt, wie sich Temperaturunterschiede mit der Zeit ausgleichen: Je größer die Diffusivität κ ist, desto schneller wird ein Temperaturprofil geglättet.
ut = κ · uxx
Beim Galerkin-Verfahren wird die unbekannte Lösung durch eine endliche Summe einfacher Basisfunktionen angenähert. Ihre zeitabhängigen Koeffizienten werden so bestimmt, dass der verbleibende Fehler zu allen verwendeten Testfunktionen orthogonal ist. Nach partieller Integration entsteht ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen.
uh(x,t) = Σ ci(t) φi(x) ⇒ M ċ(t) + κ K c(t) = 0
Die Massenmatrix M beschreibt die Überlappung der Basisfunktionen, die Steifigkeitsmatrix K ihre Ableitungen. Für die Zeitentwicklung verwenden wir das Crank–Nicolson-Verfahren, eine stabile Trapezregel zweiter Ordnung. Die bekannte exakte Lösung dient anschließend dazu, Fehler und Konvergenz der Näherung sichtbar zu machen.
Lernweg
Drei Schritte von der Gleichung zur Analyse
Galerkin diskretisieren
Lineare finite Elemente, Massen- und Steifigkeitsmatrix sowie Trapezregel.
Konvergenz prüfen
Räumlichen und zeitlichen Fehler messen, darstellen und einordnen.
Interaktiv rechnen
Python-Notebooks
Alle Notebooks lassen sich herunterladen und lokal in Jupyter öffnen. Nach Aufnahme in das GitHub-Projekt können sie zusätzlich direkt in Google Colab gestartet werden.
Wärmeleitung
Modellgleichung, Anfangs- und Randbedingungen sowie interaktive exakte Lösung.
Galerkin-Diskretisierung
Finite Elemente, Matrixgleichung und Vergleich von numerischer und exakter Lösung.
Fehler und Konvergenz
Experimente zur räumlichen und zeitlichen Konvergenz in doppelt-logarithmischen Diagrammen.
Numerischer Kern
Eigenständig entwickelte Implementierung mit linearen finiten Elementen und Crank–Nicolson.